kerry-mitchell-entrance

Fraktalgeomeetria

Fraktalid

Täiesti tänapäevane mõiste kunstis on matemaatikal põhinev fraktalkunst, mis arvutipõhiselt loob üha uusi lõpmatult korduvaid fraktaalseid mustreid. Fraktalid loovad looduses kristalle ja mägesid, lumehelbeid, tuld, ka puudes ning taimedes esineb fraktaleid, st katkematuid korduvaid jadasid, kus korduvad kujundid on täpselt sarnased esimese originaaliga. Fraktalitega tegelemine kunstis toob selgust matemaatilistesse mõistetesse dimensioon, sarnasus, kord ning kaos, fraktalid aitavad meil kõigil mõista looduse matemaatilist struktuuri.

Fraktal koosneb lõputust arvust üksteise sees olevatest struktuuridest. Kui eukleidilise geomeetria järgi saab objektil olla vaid täisarvuline dimensioon (punkti puhul 0, joone puhul 1, pinna puhul 2), siis fraktaalse objekti dimensioon ehk võime täita eukleidilist ruumi on murdarvuline. Tavalise kõverjoone pikkust on võimalik mõõta, fraktaalse joone pikkust mitte. Fraktaalne joon täidab mingi osa pinnast ja on dimensiooniga 1 ja 2 vahel. Fraktaalsel joonel olevate punktide kogumi dimensioon on 0 ja 1 vahel, Fraktali pinnal olevate punktide dimensioon on 0 ja 2 vahel. Fraktaalne dimensioon on ideaaljuhul mõõtkavast sõltumatu, see tähendab, et jääb samaks igas mõõtkavas. Mittejuhuslikud lihtprotsessid toimuvad kindlate juhuslikkust mittesisaldavate reeglite järgi. Keeruka mustri moodustamiseks ei ole aga juhuslik komponent tingimata vajalik, fraktaalseid mustreid saab moodustada kindlate reeglite järgi. Fraktalid ei ole reeglina juhuslikud, kuid eri mõõtkavades fraktaalselt korduvana saab modelleerida ka juhuslikke protsesse. Fraktalitel on iseennast erinevates mõõtkavades kordav struktuur.

Fraktaalsuse ehk eri mõõtkavades iseendaga sarnasuse idee juured ulatuvad 17. sajandi teadusesse. Sõna fraktal on tuletatud ladinakeelsest sõnast fractus, mis tähendab murdunud. Fraktaalsetena on käsitletud rannajoont (Mandelbrot 1967), elupaiga mustrit, puuokste hargnemist, jäälilli klaasil, loomade liikumist ja liikide levikut (Cole 1995). Ülevaate fraktalitega seotud metoodikate kasutamisest ökoloogias on avaldanud Halley (Halley 1996). (Kalle Remm, Jaanus Remm Ruumiliste loodusandmete statistiline analüüs Versioon 24. 03. 2012, lk. 241-242)

Fraktalgeomeetria

Fraktalite õppimine aitab mõista looduse matemaatilist struktuuri, looduses esinevaid rütme ning nende sarnast kordumist ja järkjärguliselt toimuvaid muutusi. 1970. aastatel pani fraktaalgeomeetria arengule aluse Poola päritolu Prantsuse-Ameerika matemaatik Benoit Mandelbrot, kelle järgi on nimetatud teisenduse korduvuspiirkond komplekstasandil ehk Mandelbroti hulk. Mandelbroti hulk on fraktalitest üks keerukamaid ning seda saab luua ainult matemaatiliste programmide abil. Ent fraktaalgeomeetriat on ka palju selgepiirilisemat ja tavainimesele mõistetavamat. Fraktaalgeomeetria alla kuuluvad sellised põnevad kujundid nagu Kochi lumehelves, Apolloniuse võrk, Sierpinski kolmnurk  ning paljud teised põnevad kujundid ja võrgustikud.

1904. aastal rootsi matemaatik Niels Fabian Helge von Koch (1870 – 1924) pakkus välja matemaatilise kõvera, mis on enesesarnane: iga selle osa on terve kujundi vähendatud koopia. Kochi lumehelbe puhul on kõige aluseks võrdkülgne kolmnurk, mille külg on jaotatud kolmeks võrdseks osaks ning iga külje keskmine osa on asendatud kahe võrdkülgse kolmnurga küljega. Esimesel ringil moodustub niimoodi kuusnurkne täht. Protsess kordub fraktaalselt ning iga uus niimoodi saadud võrdkülgne kolmnurga külg jaotatakse taas kolmeks võrdseks osaks ning keskmisele osale lisatakse uus väiksem kolmnurk ja niimoodi täieneb Kochi lumehelves kuni lõpmatuseni või kuni inimsilm seda seletab.

fraktal1

Apolloniuse võrk moodustub lõpututest ringidest, millest iga järgnev ring on tema kõrval asetseva ringi puutujaringiks. Appoloniuse võrgustik kehtib ka vabakäejoonega joonistatud kujundites, kus vabalt joonistatud kujundile joonistatakse sisse nii suur ring kui võimalik ning ülejäänud osa kujundist täidetakse järjest suurema ringi puutujaringidega ning siis vastavalt järjest vähenevate puutujaringidega.

fraktal2

Sierpinski kolmnurk konstrueeritakse kolmnurkade kesklõikude abil. Kolmnurkse fraktali esimesel tasemel on võrdkülgses kolmnurgas neli uut võrdkülgset kolmnurka, teisel astmel lisandub neid vastavalt 12 ning koos keskmise algkolmnurgaga on teisel tasemel 13 kolmnurka, kolmandal tasemel lisandub kolmnurki veelgi ning neid saab juba kokku 3 x 13 + 1 keskmine kolmnurk ehk 40, millest n-ö negatiivseid ehk neid, mida saab värvida, on 27 ehk vastavalt siis igas nurgas 3 x 9. Kolmnurk kasvab sisemiselt fraktaalselt nii mitu taset, kui on võimalik joonestada, või siis matemaatiliselt lõpmatuseni üha väiksemalt ja väiksemalt kordudes.

fraktal3

Mõistagi on fraktaalgeomeetria määratult rikkam kui neli esitatud näidet. Ka Sierpinskil on oma kõver ning on veel palju põnevaid jooni ja kujundeid, kuid juba nende väheste näidete varal on tohutult mänguruumi ning värvikombinatsioone ja kõikvõimalikke lahendusi, mida võiks nii kunsti- kui ka matemaatikatunnis õpilastega joonestada-vaadelda.

Fraktalid kunstis

1904. aastal kirjutas kunstnik Paul Ceźanne oma kirjas Emile Bernardile: „Looduses on kõik kujundatud kera, koonuse ja silindri järgi. Tuleb lihtsalt õppida maalima nende lihtsate vormide põhjal; seejärel suudad maalida mida iganes.“

Kontrastiks Ceźanne’i mõtteviisile on looduse fraktaalgeomeetria, milles matemaatik Benoit Mandelbrot võtab hoopis teise seisukoha: „Pilved ei ole kerakujulised, mäed pole lihtsalt koonused, rannajooned ei ole ringjooned ning puukoor pole ühtlaselt sile ja ega välkki liigu sirgjoones.“

Ajal, mil Mandelbrot otsis viise, kuidas asju täpsemalt kirjeldada, oli Prantsuse matemaatika puhas ja abstraktne. Mandelbroti eesmärk oli selles abstraktsuses mingigi kord luua. Ta kirjeldas looduslike objektide konarlikkust artiklis „Kui pikk on Briti rannajoon?“ ajakirjas Science 1967. aastal. Termini ‘fractal’ tõi ta avalikkuse ette aastal 1975.

Kogu eelnevat arvesse võttes ei peaks me üllatuma, leides omamoodi fraktaalsust ka kujutavas kunstis. Fraktaalsust võib kohata Egiptuse sammaste kapiteelidel, kus kaunis lootosõis avaneb järk-järgult, sümboliseerides universumi arengut, kordudes üha uuesti ja uuesti, väiksemalt ja väiksemalt, ent alati säilitades oma sarnasuse algse õielehega. Kolmnurkseid kujundeid, mis on paigutatud sarnaselt Sierpinski kolmnurgaga, leidub erinevates varasemate kultuuride mustrites nii Aafrikas kui ka Euroopas.

Kunstnik Salvador Dali on maalil „Visage of War“ 1940 kujutanud fraktaalset liikumist nägudes, mis on kohutatud Hispaania kodusõja õudustest. Võib näha, et suurema näo nii silmad kui suu sisaldavad sama näo fraktaalset kordumist ning ka nende uute väiksemate nägude silmades ja suudes korduvad uued hirmul näod. Miks kunstnik nii kujutas? Võib-olla otsustas Dali, et Hispaania kodusõja õudused korduvad õudustes enestes? Loomulikult ei toetunud kunstnik oma tööd maalides matemaatilisele kontseptsioonile, vaid eelkõige oma emotsioonidele. Matemaatika ja kunst kohtuvad ka teises Dali töös „Crusifixion (Hypercubic Body)“ 1954, kus Dali kasutab kuubi 4D-mudelit ehk nn hüperkuupi.

Kunstiajaloolane Samuel Edgerton on avaldanud arvamust, et tänapäeva kunst seisab taas suure muutuse lävel, et on saabunud ajajärk, kus kunst ja teadused on taas mõlema valdkonna vastastikuses huviorbiidis ning liiguvad läbi fraktaalsuse küberruumi avastamise suunas. Varem on kunstnikud matemaatikast ja teadustest inspireeritud olnud nii renessansiajastul perspektiiviõpetusse süvenedes kui ka modernismiajastul lihtsate geomeetriliste vormide puhtust imetledes.

Mõlemaid ajastuid on kunstiajaloos nimetatud revolutsiooniliseks. Kunstiajaloolane Rhonda Roland Shearer spekuleerib oma kirjutises uuest võimalusest, mil fraktaalgeomeetria võiks kaasa tuua uue kunstirevolutsiooni. Ta avaldab arvamust, et fraktaalgeomeetria on looduse uute ebaregulaarsuste keel, mis toob kaasa uue suhtumise sarnasuse ja sümmeetria teooriatesse ning on seetõttu kujunemas uueks kultuuri ikooniks. (Shearer R. R. Chaos Theory and Fractal Geometry: their potencial impact on the future of art, Leonardo 25 1992 lk. 143-152).

fraktal4

Veel üks nn fraktaalkunstnik oma enese teadmata vajaks siin töös äramärkimist ja see on Šveitsi maalikunstnik Augusto Giacometti (1877–1947) – fraktaalne abstraktsionist ammu enne fraktalite avastamist matemaatikas. Giacometti oli kunstnik, kes märkas, et kõik suured detailid looduses koosnevad paljudest väikestest detailidest. Oma maalidel kujutas ta Alpi lillevälju, kus haprad õied endale läbi lume teed rajavad, ta maalis erinevas suuruses värvilaikudega. Värvilaikudel olid sakilised servad. Tema maal „Fantasia Colorista“ 1913 sarnaneb paljuski tänapäeva fraktaalkunstniku ning fraktaalkunsti manifesti autori Kerry Mitchelli teosega „Entrance“ u 2010.

fraktal7

Fraktaalsus kunstis polegi nii võimatu, kui esmapilgul tunduda võib.Tänapäeva matemaatikud tervitavad fraktaalset revolutsiooni kunstis rõõmuga, kui see peaks ka tegelikkuses aset leidma. Mitmed kunstnikud, sealhulgas ka Dali ja Pollock, on selle tekkimiseks juba seemne külvanud.

Fraktaalkunst ja fraktaalkunstnikud

Fraktaalkunst on eksisteerinud viimased 20–30 aastat. Esimest korda esitleti fraktaleid laiemale avalikkusele 1985. aastal ajakirjas Scientific American, kus trükiti Mandelbroti hulk ehk Mandelbroti võrgu algorütmiline kujutis, mis järk-järgult ennast üha uuesti ja uuesti kordab. Teaduse ja kunsti omavaheline suhe ei ole sugugi lihtne.

Fraktaalkunstist rääkides küsitakse tihti – on see maalimine numbrite järgi või midagi enamat? Küsimus sügavamalt on selles, kas tänapäevase arvutipõlvkonna poolt loodud fraktaalkunst vastab klassikalisele kujutava kunsti standarditele. Siin on mitmeid eriarvamusi, sest tavaliste programmeerijate poolt loodud nn fraktaalkunst võib olla suhteliselt tavaline ja mittemidagiütlev. Sarnaselt Mandelbroti hulgaga on tuhanded programmeerijad loonud hulganisti sellel fraktalil põhinevaid kujutisi, mis ei oma mitte mingisugust esteetilist väärtust isegi mitte matemaatikute silmis. Kuidas siis sünnib fraktaalkunst, mida võiks kunstiks nimetada?

fraktal6

Fraktaalkunsti manifestis kirjutab autor Kerry Mitchell, et fraktaalkunst on kahemõõtmeline/kahedimensiooniline visuaalne kunst, mida luuakse elektrooniliselt keerukate programmide abil. Ent siiski ei ole fraktaalkunst pelgalt arvutipõhine kunst, millel puuduvad omad reeglid, mis on ettearvamatu ning mida võib luua ükskõik kes, kes arvuti taha pääseb. Fraktaalkunst on loov, ta nõuab suurt süvenemist ning kunstniku nägemust ja pingutust ning tarkust suunata programme oma kunstilise idee teostamiseks. See on kunst, mida loovad fraktaalkunstnikud. Sellel kunstil on omad tehnikad ja erinevad meetodid, seal eksisteerivad nn peavool ja tabamatud äärealad. Fraktaalkunsti ei saa luua mõeldes, et arvuti teeb ära kogu töö ning piisab vaid arvuti sissejätmisest. Tulles veidi aja pärast tagasi ning vaadates, kas arvuti on midagi uut loonud, on ekraan loomulikult samasugune, nagu selle jätsid, midagi ei ole toimunud. Sama on ju ka lõuendiga – valge lõuend molbertil ei muutu kunstiks iseenesest. Fraktaalkunst ei ole juhuslik, kogemata ei juhtu midagi. Fraktaalkunsti ei saa luua igaüks, kes arvuti taha pääseb, selleks on vajalik pidev areng ning meistritelt õppimine. Võib minna terve elu, et mõne protsessi üle kontrolli saavutada. Igaüks võib pintslit hoida ning värvi laiali ajada, kuid igaüks ei suuda maalida ja oma kujutlusi teoks teha ning vaatajat kõnetada. Igaüks, kes istub arvuti taha, võib luua fraktaalse kujundi, kuid igaüks, kes istub arvuti taha, ei suuda luua fraktaalkunsti.

Fraktaalkunst on kujutav kunst, fraktaalkunstnikud valdavad oma meediume ja töövahendeid nii nagu ka kõik teised kunstnikud. Fraktaalkunst on loov – lõplik fraktaalne kujund on loomisprotsessi tulemus, ta ei ole lihtsalt abstraktne vorm, vaid tal on oma loomislugu. Fraktaalkunst algab samuti tühjalt ekraanilt, „lõuendilt“, kus fraktaalkunstnik sobitab kokku erinevad värvid ja kujundid, et saavutada just seda, mida ta oma kujutlustes on loodud.

Populaarsemad programmid, millega fraktaalkunstnikud töötavad, on Ultra Fractal, Apophysis, Bryce ning Sterling. Üks kõige esimesi fraktaalprogramme kandis nimetust Fractint.

Fraktaalkunstnike hulgas on omad kuulsused, keda kõik teavad. Briti kunstnik William Latham (s. 1961) on kunstnik, kes kasutab oma loomingus fraktaalgeomeetriat. Greg Sams (s. 1948 USA-s, elab ja töötab Inglismaal) on kunstnik, kirjanik ja makrobiootik, kes on nii taimse burgeri autor kui ka fraktaalkunstnik, kes kasutab fraktaalgraafikat, trükkides tekstiile, postkaarte ja T-särke – ta on väga tuntud, ent ilmselt kõige kommertslikum. Vicky Brago-Mitchell (s. 1946) esineb oma töödega fraktaalkunsti näitustel. Scott Drawes (s. 1968) on kuulsate fraktaalsete tuleleekide autor ning kujundanud muu hulgas ka Stephen Hawkingsi 2010. aastal avaldatud raamatu „The Grand Design“ kaane ning teinud kaastööd arvutiprogrammi Electric Sheep loomisel.

Fraktaalkunstnikud ise leiavad, et tõelised fraktaalkunsti loojad on need, kes loovad kujundeid, mida keegi teine ei suuda kopeerida ega järele teha, ning neil kunstnikel on oma unikaalne ja äratuntav stiil. Fraktaalkunsti loomiseks on küll vaja keerukaid matemaatilisi programme, kuid fraktaalkunst ise on reaalse maailma matemaatiline peegeldus – ta peegeldab tõelise looduse orgaanikat, nagu seda on rannikuäär, taimede imelised vormid ja ilmastikumustrid. Iga fraktal saab alguse kaosest ning leiab kaoses oma mustri ning seni, kuni universumis on olemas kaos, võib sellest kaosest võtta killukese ning leida üles kaose ilu.

Kas fraktaalkunst leiab kunagi tunnustust kui tõeline kunstivorm, seda näitab aeg. Kas ta peab ajahambale vastu nagu seda on suutnud suured maalikunstnikud oma surematute teostega, ka see selgub tulevikus. Seni võime me vaid kaasa elada fraktaalkunsti loovusele ning imetleda looduse matemaatilist ilu, mida fraktaalkunst meieni toob.

(Artikli küljendamine on mul veel pooleli, pildid lisan lähiajal)