Kunst ja matemaatika loengu konspekt

Kunst ja matemaatika Lektor Anneli Laasi (Nõmme, Tartu august 2012)

Kunst ja matemaatika on ajalooliselt tihedalt seotud kuid õppeainetena peetakse neid täiesti erinevateks. Samas matemaatika ilu saab nähtavaks muutuda just kunsti kaudu. Juba muistses Egiptuses ja Kreekas arvestati matemaatilisi kuldseid proportsioone (kuldlõiget), seda arvestati nii püramiidide ehitamisel kui ka templite rajamisel. Paljud kunstnikud on huvitunud matemaatikast ning seda oma töödes kasutanud. Kreeka skulptorid arvestasid kuldlõiget oma skulptuuride proportsioonide juures, renessansiaja kunstnike hulgas olid paljud pühendunud matemaatikud. Ka kõige tuntum neist Leonardo da Vinci oli väga hea matemaatik. Galileo Galilei kirjutas, et matemaatika on kogu universumi keel ja geomeetrilised kujundid selle aluseks.

KUULUS KULDLÕIGE

Kuldlõige ehk jumalik proportsioon tähendab lõigu sellist jaotamist kaheks väiksemaks lõiguks, saadud lõikudest suurema jagamine väiksemaga annab tulemuseks matemaatilise konstandi nimega ρ (fii), mis on ratsionaalarv järgmise ligikaudse väärtusega: 1,618

Seda konstanti nimetatakse kuldlõike suhtarvuks.

mata2

Fibonacci jada ehk kuldlõikeliste arvude jada:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, jne

fibonacci-spiral-copy
Teadaolevalt esinevad Fibonacci arvud esmakordselt vanas sanskritikeelses käsikirjas u 450 eKr või 200 eKr. Aastal 1201 tutvustas seda jada läänemaailmale Itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci. Seda nn jada ehk jumalikku proportsiooni võib näha kõikjal universumis, looduses meie ümber– et taimede lehed ühtlaselt päikest saaksid on need paigutunud korrapäraselt, taimede lehed puhkevad selles matemaatilises jadas – algul üks, siis kaks, siis kolm, seejärel lisandub viis, siis kaheksa jne. Puude oksad hargnevad peenemaks kindlas rütmis ja kindlate matemaatiliste vahedega, inimkeha on vastavates proportsioonides – alates luude ja liigeste pikkusest, hammastest janende laiusest, meie DNA ahela lõikude pikkuse suhtest jne jne. Populaarne on kuldne mask – ehk proportsioonide suhtevõrgustik, millele vastavate proportsioonidega inimnägusid on läbi aegade peetud kauniteks ja seega ka ilu etalonideks.

Fibonacci jada algab arvudega 0 ja 1 ning ülejäänud liikmed leitakse rekursiivselt kahe eelneva liikme summast. Jada esimesed liikmed on 0 ,1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 jne. Saab näidata, et Fibonacci jada liikme jagatis sellele vahetult eelneva liikmega läheneb kuldlõikele. See on geomeetriline jada, mille teguriks on kuldlõige ehk kuldarv fii, mis on 1,618 Tehted vastavalt siis: 1+1= 2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13 jne
ning 3:2=1,5; 5:3=1,66; 8:5=1,6; 13:8=1,62; 21:13= 1,61 – ning mida edasi, seda täpsemaks muutub arvude suhe ja teguriks saab fii. Antud mõõtmetega kujundite suhet on arvestatud vanas Kreekas templite ehituses, seda arvestatakse tänapäeva disainis – tavaline krediitkaart on oma külgede suhtelt kuldlõikeline, isegi šokolaadi tahvlite mõõtude puhul on seda arvestatud rääkimata autodisainist või mööblitööstusest.

Lihtsa kuldlõikelise kompositsiooni loomiseks, kus kujundid sobituvad üksteisega matemaatilise täpsusega on vaja valmistada kuldlõikeliste mõõtudega detailid – mille suurused vastavalt
1×1 cm, 1×2 cm, 1×3 cm, 1×5 cm, 1×8 cm
2×2 cm, 2×3 cm, 2×5 cm, 2×8 cm, 2×13 cm
3×3 cm, 3×5 cm, 3×8 cm, 3×13 cm
5×5 cm, 5×8 cm, 5×13 cm
8×8 cm, 8×13 cm
Kompositsiooni võib luua kunstnik Piet Mondriani eeskujul kasutades kolme põhivärvi ja musta kontuurjoont; kompositsiooni võib luua kasutades graafilisi pindu, musta, erinevaid halle ja mustvalgeid pindu; valida võib ühe foto, fotoga sobivad paar kolm värvitooni jne jne – võimalusi on palju.

img_8528

MATEMAATIKA KUNSTIS

Kuldlõikelised suhted kehtivad looduses me ümber, inimeses, taimedes, kogu universumis. Matemaatika kunstis tähendab harmooniat ja tasakaalu, see on teatav ilumeel me sees ja ilu mida otsime ja märkame ümbritsevas. Selleks, et maailma mõista on vaja tutvust teha lihtsate aluskujunditega ning õppida nende abil seoseid märkama. Ring, ruut ja kolmnurk on matemaatilised kujundid, mida ka kunstnikud on alati kasutanud. Ringi saab teha mitut moodi – võib joonistada vabakäeliselt, võib kasutada sirkli abi. Ka lasteaiarühmas või kooli algklassides võiks olla paar sirklit, mille abil ideaalse ringi maagiat tutvustada. Loomulikult võib olla sahtlis ka paar joonlauda. See, et joonlaud võib olla ainult sirge on samuti eksiarvamus – ka joonlaudu on kahesuguseid – on sirgeid ja on kõveraid. Kõverjoonlaudu nimetatakse lekaalideks. Lekaalide abi saab ringi sirgjoonega sujuvalt ühendada, joonistada kõikvõimalikke põnevaid kujundeid jne.

Millest siis alustada?
Algastme matemaatika eeldab numbrite kirjutamisoskust ning ringi, kolmnurga ja ruudu joonistamist. Numbrite kirjutamine on raske ülesanne – selle omandamisele aitavad kaasa lihtsad käeharjutused ja joonemängud. Erinevas suunas liikuvate erinevate rütmidega joonte harjutamine parandab lapse koordinatsiooni (sisuliselt joonistamiseks-kirjutamiseks vajalik silma ja käe koostöö)
Rütmid võivad olla väga lihtsad – lapse jaoks huvitavamaks saab neid teha kasutades erinevaid värve ning miks mitte ka abivahendeid – ruudulist paberit ning vahel ka joonlauda või sirklit. Joonlaua ja sirkli proovimise võimalus annab joonekatsele teadusliku eksperimendi nüansi. Lastele võibki selliseid ülesandeid tutvustada kui katseid.

  • Teeme katse, kas saame joonlaua abil joonida kolm erinevat värvi ühe pikkusega joont.
  • Teeme katse, kas saame paberile vabalt paigutatud-joonistatud värvilised täpid omavahel sirge joonega ühendada jne.

Sama oluline, kui põnevate abivahendite olemasolu, on ka vabakäejoon st ilma abivahenditeta vaba käega erinevate joonte tõmbamine ja nn mustrite joonistamine. Ka geomeetrilisi kujundeid saab teha nii vaba käega kui ka abivahendiga. Seda tegevust saab taas ühendada katseks – võrrelda, erinevalt värvida või viirutada jne. Lastele tuleks matemaatikat tutvustada kui loovat ja põnevat teadust, mida võib leida kogu universumis – pisikestest asjadest suurteni. Matemaatikat saab joonistada ja ka matemaatikud tihti joonistavad-joonestavad.
Tänapäeva matemaatika on väga põnev ja loov. Matermaatik Roger Penrose on leiutanud katkematute kujundite võrgustiku, kus vastavalt paigutatud rombid võivad ühtlaselt katta lõpmatu katkematu pinna (kuid jällegi on nende kujundite suhtarv kuldlõikeline number 1,618).

mata1

Eedeni projekt Inglismaal (Located near St. Austell in Southwestern England, the Eden Project ) on kasvuhoonete projekt (Üks suurimaid ja uhkemaid kasvuhooneid maailmas), kus on arvestatud kuldlõiget ja erinevaid geomeetrilisi kujundeid nii kujunduses kui taimede istutuses (kuid kuldlõikeline spiraal on nagunii ka taimedes enestes).

California Polütehniline Ülikool ning kogu ülikooli linnak on disainitud orienteerudes Fibonacci jadale ja kuldlõikele.

M.C.Escher ja Victor Vasarely on kunstnikud, kelle looming on paljuski matemaatiline. Hollandlane Escher mängis rohkem kujundite ja proportsioonidega, ungarlane Vasarely tõi sisse ka värvid ja optika.

Täiesti tänapäevane mõiste kunstis on puhtalt matemaatikal põhinev fraktalkunst, mis arvutipõhiselt loob üha uusi lõpmatult korduvaid fraktaalseid mustreid. Fraktalid looduses loovad kristalle ja mägesid, lumehelbeid, tuld, ka puudes ning taimedes esineb fraktaale st katkematuid korduvaid jadasid, kus korduvad kujundid on täpselt ühesugused.

Matemaatikas esineb tohutult erinevaid ruumi illusioone, mis põhinevad joontevõrgustikul ja millel kunstina põhineb optiline kunst ehk op kunst.

Heringi illusioon – sirge on kõver ja mitmed teised matemaatilised illusioonid ja kujundimängud, joone-ja kujundipõhine matemaatika on tohutult põnev.

optical-illusion-copy
Meie koolisüsteem on selle enamasti välja jätnud, aga mujal maalimas Jaapanis, USA-s on sellised matemaatikamängudel põhinevad ülesanded alghariduses erinevate puslede ja kujundimängudena sees, et arendada juba lapsena tulevaste teadlaste huvi ja loogikat. Matemaatilisi kujundimänge sisaldab hulganisti ka näiteks Venemaa I klassi kunstiõpetuse tööraamatute komplekt, milles on 4 mahukat tööraamatut, mis põhinevad kujundite- ja vormimängudel ning loogikal. Eesti kunstiõpetuse ainekavas algklasside kunstitundide mahus pole selle jaoks ei aega ega ka kohta ning matemaatikatundides tegeleme me enamasti arvutama õppimisega (mis on kahtlemata väga oluline), kuid me ei kasuta eriti kujundi- ega ka vormimänge. Tunde on ette nähtud vähe ja õppemaht on niigi suur.

Matemaatik Hilbert’i kõver ehk joonemuster põhineb katkematul joonel ja selle liikumisel erinevates suundades. Õpilase jaoks on tegemist loogikaharjutusega, mis arendab silma ja käe koostööd.

Hilberti kõver