Kuldlõikeline džäss või tesselatsioon – Mondrian või Escher

Džäss või tesselatsioon, Mondrian või Escher? Nende kahe kunstniku puhul on jällegi seosed huvitavate matemaatiliste fenomenidega – Piet Mondriani puhul on need kuldlõikelised geomeetrilised kujundid ja nende rütm Fibonacci jadas ning Maurits C. Escheri puhul geomeetrilised ruumimängud ehk tesselatsioonid. Mõlema kunstniku loomingus mainitud matemaatilised fenomenid leiavad täpsemat lahtiseletamist töö neljandas peatükis „Matemaatilised töövahendid geomeetriliste mustrite ja vormide visuaalseks ja ruumiliseks kujutamiseks“.

Piet Mondrian (1872–1944)

Hollandi päritolu kunstnik Piet Mondrian on üks abstraktse kunsti teerajajatest. Rangelt lihtne ja suletud persoon, kes vihkas looduse rohelist ebapuhtust. Piet Mondrian rääkis oma loomemeetodist kui kunstist, mida tuleb luua abstraktsete printsiipide järgi sõltumata loodusest, välistades kõik kujundliku, suvalise või juhusliku. Ta valis sirged jooned, mis vastavalt liikusid vertikaalselt või horisontaalselt, ning puhtad põhivärvid – sinise, punase ja kollase. Mondrian kasutas ka valget, halli ja musta ning seda eelkõige selleks, et neutraalvärvused põhivärvid välja tooksid.

Mondrian otsis absoluutset harmooniat ning tegi seda otsides radikaalse sammu, liikudes kubismist geomeetrilisse abstraktsionismi. Tema tuntumad tööd pärinevad aastatest 1920–1930. Tööde eesmärk oli leida ja edasi anda kõikehõlmavat tasakaalu ja vaimutäiust. Mondriani loomingu mõistmiseks peaks neid nägema elusuuruses, reproduktsioonidena mõjuvad nad mehaaniliste, veatute ja anonüümsetena. Tegelikkuses võib aga näha pintslijälgi, muutusi, tajudes kogu protsessi ennast. Mondrian kirjutab: „Abstraktne kunst…vastandub asjade loomulikule kujutamisele…see ei vastandu loodusele… See vastandub inimese toorele, primitiivsele, loomalikule olemusele, kuid see on inimloomusega üks.“ (Robert Cumming Kunst, kirjastus Varrak, 2007, lk. 389). Ta tabas vabas looduses ära horisontaalide ja vertikaalide vastuolude printsiibi – vaata, mida tahad, igas linna- ja maastikuvaates võib leida domineerivad horisontaalid ja vertikaalid. Nad on vastandid.

Mondrian oli veendunud, et konkreetne kunst on täpne ja ebaisikuline ning moodustub iseseisvatest elementidest, nagu seda on pind, joon ja värv. Ja selleks, et see oleks täiuslik, tuli kogu esteetiline keskkond seda arvestades kujundada, kasutades vaid primaarvärvi ruute ja ristkülikuid ning horisontaalseid või vertikaalseid jooni ning hall-valgeid pindu. Mondriani ateljee ja eluruumid olidki üldjoontes niimoodi kujutatud. Ruutude ja ristkülikute omavaheline sobivus oli kuldlõikeline. Mondrian uskus, et matemaatika ja kunst on omavahel tihedalt seotud, ning oli veendunud, et iga kujundit on võimalik luua aluskujundite abil ehk ringist, ruudust ja kolmnurgast ning igat värvitooni on võimalik segada sinisest, punasest ja kollasest. Oma tööde loomisel kasutas ta kuldlõikeliste suhetega ristkülikuid, mille pikema külje pikkuse jagamisel lühema külje pikkusega saame kuldlõikelise suhtarvu phi. Kuigi Mondriani töödes esineb ka teiste proportsioonidega kujundeid, on paljud ristkülikud just kuldlõikelised, seda ilmselt seetõttu, et Mondrian otsis täiuslikkust ning kuldlõikeline kujund oli piisavalt täiuslik ning inimsilmale harmooniline ja meeldiv vaadata.

Maurits Cornelis Escher (1898–1972)

Erinevate geomeetriliste sümmeetriate uurimine on ühenduslüliks kunsti ja matemaatika vahel. Tesselatsioonid, mida kunstnik Maurits C. Escher oma töödes kasutab, on üks geomeetrilise sümmeetria vorme, mis samuti nagu ka kõik eelnev selles töös asuvad kunsti ja matemaatika vahepeal. Kõige selle aluseks on eukleidilise geomeetria viis postulaati: 1) Igat eraldiasetsevat kahte punkti on võimalik sirgjoonega omavahel ühendada; 2) Igat sirgjoont saab sirgjoonega jätkata; 3) Sirgjoont saab tõmmata ka ümber keskpunkti, kasutades selleks sirklit ning raadiust; 4) Kokku sobivad vaid omavahel sarnase kuju ja suurusega kujundid, mille nurkade summa on 360° ning viimane postulaat on nn paralleelsuse postulaat; 5) Sama punkti sirgjoonel läbib ainult üks paralleelne sirgjoon. Kuid geomeetria on palju laiem kui need viis postulaati. On olemas ka hüperboolne ning elliptiline geomeetria, mida matemaatikud peavad mitte-eukleidiliseks geomeetriaks. Hüperboolse geomeetria avastasid matemaatikud 19. sajandil, kui püüti tõestada Eukleidese viiendat postulaati ning tõestuse tulemusena sõnastati see ümber nii, et antud punkti x ei läbi mitte ainult üks kindel sirge, vaid seda punkti läbib lõputu arv sirgeid, mille tulemusena moodustub lõputu tasapind. Elliptiline geomeetria käsitleb kera tasapinda kui kahemõõtmelist ruumi. Tegelikult on kõigel kolmel nimetatud geomeetrial ka mitmeid ühiseid kokkupuutepunkte.

Kust algab siis nn tesselatsiooni geomeetria? Tesselatsiooni geomeetria algab lõputu tasapinna mõistest. Tessalatsioon on selle tasapinna täitmine omavahel sobituvate suletud geomeetriliste kujunditega, mida võib sel tasapinnal süsteemselt paigutada lõpmatuseni. Tesselatsioon ehk mosaiikimine on kahemõõtmelise pinna jäägita jagamine kindla kujuga mittekattuvateks osadeks. Tesselatsioonipolügoonid, mis kujunditest tekivad, võivad olla täiesti korrapärased või vaid mingil määral ühetaolised. Täiesti korrapäraseid tesselatsioone on vaid kolm: võrdkülgsetest kolmnurkadest, ruutudest või võrdkülgsetest kuusnurkadest koosnev pinnajaotus.

Kolme- ja enammõõtmelise ruumi korrapärasteks osadeks jagamise tulemuse nimi on kärg. Tesselatsioonidest võib leida hulganisti näiteid meid ümbritsevast loodusest alates taimedest ning mustritest taimede erineva vormi ja kujuga pindadel ja mesilaskärjes kuni inimeste poolt loodud tesselatsioonideni, nagu mosaiikpõrandad, telliskiviseinad, tapeedid, kangad jne. Kunstnikke on mustrite loomine ning erinevate kujundite omavaheline sobitamine alati huvitanud. Samuti huvitab see ka matemaatikuid, sest mitte iga kujundiga ei saa ühtlaselt täita lõputut tasapinda. Eukleidese geomeetria kohaselt saab pinda katta võrdkülgse kolmnurga, ruudu ja korrapärase kuusnurgaga. Tänapäeval teame, et neid põhikujundeid saab lõputult muuta ning luua üha uusi ja erinevaid deformatsioone ning luua ka üha uusi tesselatsioonipolügoone.

See kõik huvitas ka kunstnik Maurits C. Escherit, kes uuris matemaatikat, et oma kujutlused teoks teha. Teda huvitas kõik, nii tasapinna ühtlane jagamine kui ka kujundite vähenemine kauguses.

1924. aastal luges Escher matemaatik George Pólya (1887–1985) tööd 17-st tasapinna kristallograafia rühmast, millele matemaatik oli lisanud ka illustratsioonid, kuidas vastavate kujunditega tasapinda katta. Töö inspireeris Escherit sedavõrd, et ta lõi suure hulga oma perioodilistest rühmadest koosnevaid joonistusseeriaid. Escher küll ei mõistnud kogu seda abstraktset matemaatikat nendest erilistest rühmadest, kuid ta mõistis visuaalseid kujundeid. Saadud teadmise põhjal töötas ta 1937–1941 välja 43 värvilist joonistust teemal, kuidas erinevaid kujundeid omavahel siduda sümmeetrilisteks gruppideks. Selleks kasutas Escher hoopis oma enda loodud visuaalset süsteemi ning kujundite muutmist ehk mutatsiooni. Ta võis rühma paigutada nii kalad kui ka linnud, nii ratsanikud kui ka liblikad. Ta kasutas kõrgmatemaatilist süsteemi, seda endale otseselt teadvustamata. Järgnevatel aastatel tegi Escher puulõikeid kõigi 17 tasapinna kujundite rühma põhjal. Tema intensiivne uurimistöö kulmineerus 1941. aastal esimese tööraamatuga „Tasapinna regulaarne jagamine asümmeetriliste hulknurkadega“ (Regular Division of the plane with Asymmetric congruent Polygons), mis polnud algselt sugugi avaldamiseks mõeldud, vaid oli märkmete kogum kunstnikule endale, et oma ideedega jätkata. Tööraamat andis tunnistust sellest, et Escher oli oma uuringutes jõudnud kõrgema matemaatilise korrani, ta oli loonud omaenda süsteemi kujundite, värvi ning sümmeetria omadustest ning oma huvi tõttu ette jõudnud vastavateemalistest töödest matemaatikas. Teda oli alati huvitanud tasapinna jagamine kujunditeks ja nagu ta ise kirjutab: „ /…/ olin saabunud matemaatika väravasse, /…/ mõnikord tundus mulle, et olen suutnud katta terve tasapinna /…/ ning siis avastasin ma taas uue võimaluse /…/“ (autori tõlge)

Escherit huvitas üha enam see, kuidas luua sarnane tasapind piiratud kujundi – ringi sisse.
Ta tahtis luua mustreid või ka motiive, mis muutuksid üha väiksemaks ja väiksemaks, kuni
nad kaovad lõpmatusse. Escheri lähenemine eukleidilistele tesselatsioonidele oli muuta kujundeid ning sobitada need uued kujundid põhikujundite geomeetriasse. Ta kasutas erinevaid peegelsümmeetria töövõtteid ning keeras kujundeid ka sümmeetria telgede suhtes, kuni saavutas nende kujundite sobivuse ja paigutuse ringis.

Escherile tehti mitmeid ettepanekuid loengute pidamiseks kogu maailmas. 1953. aastal ütles ta oma loengus: „/…/ ma olen alati end tundnud lähedasemana inimestega, kes töötavad teaduslikult, (kuigi ise ma seda loomulikult ei tee) kui oma sõprade kunstnikega /…/“ (autori tõlge) 1956. aastal võtab Escher taas uue suuna, astudes oma tasapindadest uuele astmele – ta otsib võimatut ning lõpmatust. Ta asub oma teooriat katsetama ringis, kuid ei ole oma tulemustega rahul. 1954. aastal tutvub ta matemaatik Harold Scott MacDonald Coxeteriga (1909–2003) ning neist saavad eluaegsed sõbrad. Escher loeb Coxeter’i tekste, kuid ei saa mitte midagi aru, ta suudab mõelda vaid joontega paberil. Ta on väga pühendunud ning planeerib oma tööd väga täpselt ja detailselt, ta teeb tohutult visandeid ning on veendunud, et inimese käsi suudab teha väga täpseid ja peeneid liigutusi, joonistada täpselt väga väikese joone filigraanselt õigesse punkti. M. C. Escher oli ka Roger Penrose’i hea sõber (s. 1931), kes samuti nagu ka H. S. M. Coxeter oli kõrgdimensioonilise geomeetria spetsialist. 1958. aastal avaldab Escher uue uurimistöö Tasapinna regulaarne jagamine (Regular Division of the Plane), milles ta kirjutab: „ /…/ alguses polnud mul aimugi kõigist võimalustest oma kujundite süstematiseerimisel, ma lihtsalt ei osanud /…./ see kõik sai võimalikuks tänu matemaatikutele/…/ nende kirjutistest saadud ideed sundisid mind edasi mõtlema ning uusi lahendusi otsima /…/“. (autori tõlge)

Roger Penrose tekitab Escheris huvi topoloogia vastu, Escher joonistab Möbiuse lehe ning
inspireerituna Penrose’i võimatust kolmnurgast loob ta võimatu pildi veest, mis voolab üles ja alla. (Waterfall or Up and down). 1995. aastal avaldab Coxeter kirjutise, milles tõestab, et Escher oli saavutanud matemaatilise täpsuse oma ringikujulistes gravüürides: nt Circle Limit III, mille Escher valmistas, kasutades ainult kõige tavalisemaid joonistusvahendeid. Coxeter tõestas, et Escheril oli väga hea intuitsioon ning matemaatiline mõtlemine ning kõik oli viimse millimeetrini täpselt paigas.

Eelnev tõestab veel kord, et kunstnikuna oli Escheril anne kombineerida kunstniku oskusi ning kõrgemat matemaatikat perfektseteks töödeks. Escheri loominguga tutvumine inspireerib õpilasi kindlasti ning arendab nende kujundlikku mõtlemist ja fantaasiat.