Millised on kunsti ja matemaatika paralleelsed arengud viimase 200 aasta jooksul? Mis on kunstil ja matemaatikal ühist? Kas on võimalik võrrelda kunstnik Jackson Pollocki loomingut ning fraktalite avastamist matemaatikas? Kuidas on kunst ja matemaatika nende aastate jooksul muutunud ning teisenenud?
Kahesaja aasta jooksul on toimunud mitmeid muutusi ja uusi arenguid nii kunsti kui ka matemaatika vallas.
19. sajandi alguses otsiti seoseid konkreetse ja tundmatu vahel, sajandi lõpul kalduti täielikult täpsusesse ning arvutustesse, 20. sajandil tuli uuesti abstraktsuse laine.
Mis tegelikult matemaatikas toimus, on teada ainult väga kitsale ringkonnale. Kunst ja ka matemaatika ei ole kunagi tunnistanud mingeid rahvuslikke ega rassilisi piire, nad on mõlemad olnud universaalsed ning vabad keeled ning olnud kogu maailmale võrdselt avatud.
Kui saksa emigrandist kunstnik Hans Hoffman soovitas Jackson Pollockil „vaadelda loodust“ või tema looming muutub monotoonseks, siis Wyomingis sündinud Pollock vastas sellele lihtsalt: „Mina olengi loodus.“
Ning edaspidi loobus Pollock kontrollija rollist, lasi end vabaks, et kallata ja niristada värvi täiesti juhuslikul ja vabal viisil. Tema loodud kujundid said vabalt liikuva värvi dünaamika, värvi viskoossus ning kokkupuude lõuendiga andis elava ning tundlikult rikkaliku maalipinna.
Pollock oli ühes rütmis oma aja ja ruumiga. Arhitektuuris toimusid metsikused, tarbetu dekoor pühiti minema ja ehitised omandasid ennenägematud mõõted, muusika kõlas valjemalt kui kunagi varem ja tänavatel kihas autoliiklus.
Kunst pidi toimuvaga suhestuma, leidma oma koha ja väljendusviisid. Pollocki lõuenditel toimuv ekspressiivsus on suures kontrastis tolle aja rangelt geomeetrilise arhitektuuriga, samas täiendavad mõlemad nähtused üksteist. New-yorklane tunneb piltidel ära maailma, kus ta paikneb. Paljud detailid sulavad üheks suureks ja rahutuks mustriks.
Samal ajal tegelevad kolm matemaatikut Nicholas Metropolis (1915–1999), Stanislaw Ulam (1909– 1984) ja Johnny von Neumann (1903–1957) nn Monte Carlo meetodi leiutamisega.
Mis on Monte Carlo meetod?
Ühel tõelisel aatompommil on umbes 10000000000000000000000000 neutronit, mis tema sees tiirlevad.
Traditsiooniliselt on püütud modelleerida, kui mitu neutronit on mingil ajahetkel samas punktis. Neumann oletas, et seda on lihtne välja selgitada statistilise keskmisega, kui teha 100 katset. Peaks tuhandeid kordi münte loopima, et saada mingi ligilähedanegi tulemus. Ent 100 korda täringut veeretada ning seda tõenäosust vastavalt vajadusele paljundada pole sugugi nii keerukas.
Monte Carlo meetod on juhuslikkuse kordumise meetod ning ühtlasi ka meetod keerukate protsesside modelleerimiseks juhuslike arvude abil. Protsessi võimalike tulemuste valim saadakse korduvate juhuslike jäljenduste abil. Tulemuse variantide sageduse järgi valimis tehakse järeldusi vastavate tulemuste tõenäosuse kohta.
Ning juhuslikkuse kordumine on omamoodi tõeliselt põnev. Ka kunstnik Jackson Pollock leidis, et juhuslikult värvi tilgutades on võimalik luua intensiivseid pindu, mis on täis elu ja energiat. Ning matemaatikud Metropolis-Ulam-Neumann järeldasid, et täringu veeretamine loob teatavas kordumises pseudomaailma mudeli, mida on võimalik päris maalimaga võrrelda.
Monte Carlo meetod on tänapäevani au sees, ennustamaks mingi mudeli töökindlust. Oli see juhus, et mõlemad sündmused nii kunstis kui ka matemaatikas leidsid aset 1940-ndatel?
On levinud arvamus, et kogu matemaatika on tavainimesele nagunii abstraktne ja mõistetamatu. Kujutavas kunstis võime sama aja jooksul jälgida mitmeid erinevaid arenguid, mis tihti ei ole kõigile samaselt mõistetavad.
Vaatleme lähemalt abstraktse ja nonfiguratiivse kunsti ning ka matemaatika käekäiku kahel viimasel sajandil. Kui abstraktne midagi on, sõltub otseselt vaatlejast-vastuvõtjast. Tegelemine numbritega, nagu Diophantos, või geomeetriaga, nagu Eukleides, või maailma protsessidega, nagu seda tegi Newton, on vaid osake matemaatikast.
Abstraktsioon nii kunstis kui ka matemaatikas on suhteline termin, alati on olemas uusi kõrgemaid tasandeid. Esimene ajalooline staadium 19. sajandi algusaastail oli fokuseerumine ühele kindlale aspektile eesmärgiga jätta välja kõik ebaolulisena tunduvad detailid ning jõuda asjade tuumani.
Ka kunst oli 19. sajandil komplitseeritud ning mitmekülgne. Kujunesid mitmed uued stiilid, mis ühtesid väga inspireeris ja teisi sügavalt solvas.
Mõned kunstnikud järgisid kunstiturgu ning raha liikumist, mõned olid valmis puhta kunsti nimel nälgima. Toimus lõhenemine romantikute ning akadeemikute vahel.
Romantikud, püüdes kohaneda maailmaga, mis näilisest kindlusest oli sattunud revolutsioonilisse kaosesse, keskendusid individuaalsusele ja püüdsid hüljata mineviku tavasid ning kombeid. Domineerisid kõrgenenud emotsioonid.
Kunstnikud pöördusid eemale kõige loogilise ja ratsionaalse juurest, võttes endale vabaduse väljendada tugevaid, seni alla surutud tundeid.
Maastikud, mida romantikud maalisid, muutusid avaramaks, süngemaks ja hirmuäratavamaks. Väeti inimene täielikult looduse meelevallas.
Esmaklassiline romantiline mere- ja maastikumaalija William Turner (1775–1851) keskendus palju enam hommikusele kuldsele valgusele kui kujutatavale objektile endale. Oma viimastes töödes kujutab Turner ainult valgusemängu, segunevat vett ja õhku, segu udust ning tillukestest veepiiskadest, pilvedest ja lumest.
Turnerit huvitab kogu maalimise juures ainult üks miski ja see on valgus. Romantikutele omakorda vastanduvad konservatiivsed akadeemiad kui „kaunite kunstide“ vanad ja lugupeetud õppeasutused, mille mõju kunstile oli määrav kuni 19. sajandi lõpuni.
Prantsuse matemaatik Evariste Galois (1811–1832) ning Norra matemaatik Nils Henrik Abel (1802– 1829) olid romantikud matemaatikas. Nende ideed lükkas kõrgem Akadeemia resoluutselt tagasi, kuna tollastele akadeemikutele tundusid asjad, millega noormehed tegelesid, nii abstraktsed, et neid oli võimatu mõista.
Mõlemad matemaatikud surid noorelt: Galois segastel asjaoludel kõigest kahekümneselt duellil ning Abel veidi vanemana tuberkuloosi. Matemaatikuna saavutas Abel oma eluajal tuntuse eelkõige elliptiliste ja hüperelliptiliste funktsioonide teooria arendajana. Tema järgi on nimetatud mitmed teoreemid, funktsioonid ning rühm matemaatikas.
Mõlemad noormehed olid töötud ja pennitud, ometigi olid nende ideed ühed sügavamatest 19. sajandi matemaatikas. Nad murdsid 3000 aastat valitsenud idee vanas algebras, millest oli vaja ainult veidikene kõrvale kalduda.
Mis siis oli olulist vanas heas algebras?
Ruutjuure võrrand ja ruumala valem. Mida tegi Galois – ta keskendus ainult võtmeküsimusele ning jättis kõrvale kõik ebaolulised detailid ning väitis, et astmes n võib olla ka n arv lahendusi ning astmeid võib vähendada kuni n on null ja järel on vaid üksainus lahendus – kuni järel on vaid valgus ja õhk.
Ta näitas, et viienda või kõrgema astme võrrandile ei ole võimalik anda üldlahendit algebralisel kujul. Tema nime järgi hakati Galois’ teooriaks nimetama seda matemaatika osa, mis uurib, milliste omadustega neljanda või kõrgema astme võrrandid on lahendatavad radikaalides. 1830 võttis ta esimesena kasutusele termini “rühm” automorfismide rühma tähisena.
19. sajandi keskpaigas uuriti ka looduse mitmekesisust. Looduse üksikud detailid ei olnud enam koledad ja tähtsusetud, vaid ilusad ja erilised. Kunstis valitsenud klassitsismile oli oluline kujutada ilu ja täiuslikkust – kunst oli ilu teenistuses.
„Kunsti kohus on kirjeldada ilu“
Ingres
Samal ajal otsisid ka klassikalised matemaatikud ilu ja täiuslikkust – analüütiliste funktsioonide tõelised ja kujuteldavad osad moodustasid uue, imepärase terviku. Pöörati taas tähelepanu negatiivsetele arvudele, mis peegeldasid positiivseid.
Ja selle mängulisusega tegelesid kõige elegantsemad matemaatikud üldse. Samas tunti negatiivseid arve juba vanas Indias ja Hiinas. Euroopas hakati negatiivseid arve kasutama seoses kaubanduse arenguga alles 15. sajandi lõpul. Nüüd oli negatiivne ja positiivne taas päevakorral nii matemaatikas kui ka kunstis.
19. sajandi keskpaigas tuli kunstis päevakorda realism, mis uuris sotsiaalset tegelikkust ning tahtis näidata pigem fakte kui ideaale ja ilu. Realismi mõju oli tohutu, ka teised stiilid võtsid sealt üle ideid ja kujundeid.
Ent positiivse ja negatiivse kontrasti juurde tagasi tulles võib näiteks tuua maalikunstnik Pierre Auguste Renoir’ (1841–1919) laternavalguses tantsivad figuurid, kelle nägudelt peegeldub tagasi neid ümbritsev valgus, ning Eduard Manet’ (1832–1883) maalitud kohviku sisustuse, milles kujutatakse peegeldust baarileti tagusest peeglist. („Baar Folies-Bergere’is“).
Kõik sellel maalil on peegelpilt, välja arvatud baarilett ja baaridaam Suzon. Daam vaatab meie poole ja peeglist paistab, nagu oleks ta end ettepoole kallutanud, teenindades torukübaras klienti. Manet soovis, et sellest pildist oleks raske aru saada.
Peegeldused peeglis ei ühti ja inimesed rõdu peal on hägused, just nagu liiguksid nad veel ringi. Reaalsus vastandus pildile klaaspinna ehk peegli taga, andes tööle uue dimensiooni.
Matemaatikas siiani eksisteerinud klassikalised funktsioonid olid muidugi ilusad, ent maailm oli palju komplitseeritum ning oli vaja kirjeldada kõiki võimalikke suhteid ning ka funktsioonide negatiivsuspiirkondi oli vaja kirjeldada. Funktsiooni mõiste võttis kasutusele Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646–1716) juba veelgi varem, aastal 1694.
Mida sellest kõigest õpiti? Õpiti, et ei saa välistada konkreetseid asju, kuid võib vaadelda asju erinevast küljest. Reaalne maailm on seal, kus ta on, aga on asju, mis meie ümber on pidevas muutumises.
Matemaatikas algasid vormimängud. Saksa matemaatik David Hilbert (1862–1943) oli sajandivahetuse tähtsamaid matemaatikuid, ta töötas paljudes matemaatika erivaldkondades, sealhulgas arvuteooria, algebralise geomeetria ning eukleidilise geomeetria valdkondades, tegi 1899. aastal põhjaliku uurimuse Eukleidese geomeetriast ja kujundas n-ö oma kõvera – Hilberti kõver on fraktaalne kurvjoon, millega võib katta piiramatu pinna kuni lõpmatuseni.
1900. aastal esitas ta nimekirja 23 matemaatika tähtsamast probleemist, mille lahendamine jäeti 20. sajandi matemaatikute hooleks. Mõned nendest probleemidest on tänapäevani lahendamata. Tema järgi on nimetatud nn Hilberti ruum ehk eukleidilise ruumi üldistus.
Matemaatika ilu muutub nähtavaks kunsti kaudu ning Hilberti kõver ja teised sarnased matemaatilised põnevad kujundid ning nende liikumised on just need, mis matemaatika visuaalselt meieni toovad. Seda kõike on kindlasti ka kunstitunnis põnev õppida ning uurida.
Sõjajärgne abstraktne maalikunst liigub Euroopast Ameerikasse. Ligikaudu 200 aasta vältel Lääne maailma kunstikeskuseks olnud Pariis asendub New Yorgiga. Ees ootab täielik abstraktsionismi võidukäik – visatakse minema viimasedki ühenduslülid, mis meid reaalsusega seovad.
Kandinsky ja Malevich loovad nonfiguratiivse kunsti. Mondrian järgneb neile, luues kuldlõikelisi geomeetrilisi džässirütme. Ning kõige selle taga on omad teooriad – kunst paneb meid mõistma, kuidas kasutada erinevaid elemente kompositsiooni loomiseks.
Mittefiguratiivne kunst loob dünaamilisi rütme erinevate kujundite ja värvide vahel ning aitab luua ükskõik millist uut tervikut. Võimalusi on tohutult. Matemaatikas tegeletakse samal ajal arvudevaheliste suhete ning lõpmatute jadadega. Püütakse piiritleda tasapinda ning kindlaks määrata selle dimensioone. See kõik viib abstraktse algebra sünnini – erinevate kosmiliste struktuuride ja vormideni.
Samu radu liigub ka abstraktne kunst. Läti päritolu Ameerika kunstnik Mark Rothko (1903–1970) kirjutab 1940-ndatel: „Tänapäeva kunst /…/ haardub aktiivselt kaasaegsest keskkonnast pärit olevate tuhandete ideedega. /…/ Ajal, mis on hõivatud mateeria tükeldamisest, et jõuda mateeria strukturaalse olemuse põhialusteni, kus kõiki tajutavaid ilminguid lõhustatakse nende abstraktseteks kildudeks, ei või kunstki teha muud kui käia sama teed suhtes kunstiseadustega.“ (autori tõlge The Artist’s Reality: Philosophies of Art by Mark Rothko, Christopher Rothko Yale University Press 2008 lk. 112).
Küsimus kunstis seisnes selles, kas kunstiseadusi ja kunstiloomingut võib samamoodi lõhestada ning peenestada, nagu seda tegid tollased teadlased mateeriaga. Mark Rothko on nn värvivälja nimetuse all tuntuks saanud abstraktse ekspressionismi juhtfiguur.
Enamjaolt koosnevad tema maalid taustale tundlikult maalitud suurtest värviplokkidest, mille servad on tihti ähmased. Jääb vaataja enda otsustada, kuidas ta pildi värvuste ja kujundite vastasmõju lahti mõtestab ning sellest aru saab. Minimalism esitles kõige lihtsamaid vorme ning puhtaid värve.
Kunstis leidis see rakendust ka Kazimir Malevichi (1878–1935), Josef Albers (1888–1976), Kelly Elsworth (1923), Frank Stella (1936), Sol Lewitti (1928–2007) ja Kenneth Nolandi (1924–2010) loomingus. Malevitshi „Must ruut valgel taustal“ kujunes esemetu kunsti programmiliseks teoseks. Albersi tööde seerias „Homage to the Square“ kasutati samuti ruutu kui lihtsat puhast kujundit ning sama värvi erinevaid toone üha uuel ja uuel moel segades.
Ka kõik teised nimetatud kunstnikud viljelesid mingil oma loominguhetkel geomeetrilist lihtsust nii vormis kui ka värvis. Matemaatikas väljendus see omakorda baaselementide lihtsas grupeerumises üha uute kujundite ja vormide moodustamises, mis olid sümmeetrilised ka siis, kui nad tegelikult sümmeetrilised ei olnudki.
Suured muutused on kunstis ja matemaatikas paralleelselt kulgenud teineteist otseselt mõjutamata. Kumb kumba mõjutakski? Matemaatika kunsti või kunst matemaatikat? Keda võrrelda: Duchampi ja Einsteini, Rothkot ja Los Alamost?
Võib-olla ongi parem aktsepteerida nii kunsti kui ka matemaatika erinevaid võimalusi ning tunda rõõmu sellest, et mõlemad saavad teineteist täiendada ning edasi viia. Postmodernism on mänguline ja eripärane ning kõik tehnikad ja töövõtted on korraga mängus.
Sama toimub ka tänapäeva matemaatikas, kus piirid ulatuvad fraktalitest moodustuvate kujundite kaudu lõpmatusse. Kõike eelnevat arvesse võttes on aeg tuua tänapäevane matemaatika kunstitundi ning kunstilisi elemente ka matemaatikatundidesse. Vastandid täiendavad teineteist ning lõppkokkuvõtteks suunavad õpilast avaramalt mõtlema nii teadustes kui ka vabas loomes.
/Anneli laasi magistritööst ‘Kunstnikud ja Matemaatika, Matemaatikud ja kunst’, Tallinn 2012/